"Златното сѣчение" и числата на Фибоначи въ изкуството и природата

[Hatshepsut]

"Златното сечение" и числата на Фибоначи в изкуството и природата

Златно сечение (известно още като златна пропорция, златен коефициент или божествена пропорция) е ирационално число в математиката, което изразява отношение на части, за които по-голямата част се отнася към по-малката така, както цялото към по-голямата. То се отбелязва с гръцката буква φ и има стойност приблизително равна на 1,618...

Златно сечение (a+b)/a=a/b

Златното сечение е не само математическо понятие, но е символ за красота, хармония и съвършенство в изкуството, науката и природата. Терминът "златно сечение" е въведен от Леонардо да Винчи като пропорция за "идеалното човешко тяло". То е било познато на египтяните и древните гърци още в античността. Представата за хармония и отношение e в основата на философските идеи на Питагор. Египетските пирамиди и Партенонът са пример за използването на пропорцията φ в архитектурата.

История

В достигналата до нас антична литература златното сечение се среща за първи път в "Елементи" на Евклид. След Евклид с изучаване на това отношение са се занимавали и други древногръцки философи. В средновековна Европа златното сечение достига чрез преводите на "Елементи" на Евклид, а преводачът Дж. Кампано от Навара (III в.) прави първите коментари към преводите. По това време тайните на златното отношение се пазели ревностно и били известни единствено на посветените.

В епохата на Ренесанса интересът на учените и художниците към това число се засилил във връзка с неговото приложение в геометрията, в изкуството и най-вече в архитектурата. През 1509 г. във Венеция била издадена книгата на монаха Лука Пачоли "Божествена пропорция" с илюстрации, които се предполага, че са дело на Леонардо да Винчи. Книгата била възторжен химн на златното сечение, в която не се пропуска да се спомене дори "божествената същност" на числото като изражение на божието триединство.

Леонардо да Винчи също отделя голямо внимание на изучаването на златното отношение. Той го използва като пропорция за "идеалното човешко тяло". Именно той въвежда понятието "златно сечение" в резултат на множеството опити, които прави със сечения на стереометрично тяло, образувано от правилни петоъгълници, като достига до извода, че получените фигури са правоъгълници с отношение на страните, равно на златното отношение.

По това време в Северна Европа Албрехт Дюрер работи над същите проблеми. Според едно от неговите писма той се е срещал с Лука Пачоли при едно от пребиваванията му в Италия. Албрехт Дюрер подробно разработва теорията за пропорциите на човешкото тяло. Важно място в неговата работа заема златното отношение. Той установява, че ръстът на човека се дели в златно отношение от линията на кръста.

Астрономът Йохан Кеплер през XVI век нарича златното отношение едно от съкровищата на геометрията. Той първи отбелязва приложението на златното сечение в ботаниката.

През 1855 г. немският изследовател Адолф Цайзинг публикува своя труд "Естетически изследвания", в който обявява златното сечение за универсално във всички явления в природата и изкуството. Цайзинг извършва около две хиляди измервания на човешки тела и достига до извода, че златното сечение изразява средностатистически закон. Той показва, че деленето на тялото в точката на пъпа е най-добрия пример на златно отношение. Пропорциите на мъжкото тяло се колебаят около отношението 13 : 8 = 1,625 и са много по-близки до златната пропорция, отколкото женското тяло, чието средно отношение е 8 : 5 = 1,6. Пропорцията на златното сечение се проявява и при други части на тялото.

Златни геометрични фигури

Златен правоъгълник е правоъгълник, при който отношението на страните е равно на златното сечение.
При премахването на квадрат със страни, равни на по-малката страна на златен правоъгълник, остатъкът е отново правоъгълник със съотношение на страните, равно на φ, т.е. при премахването на квадрат от златен правоъгълник се получава отново златен правоъгълник. Това се доказва лесно, като се използва алгебричните свойства на φ и лицата на правоъгълниците.
При повтаряне на тази последователност се получава поредица от все по-малки златни правоъгълници, като диагоналите на всички малки правоъгълници лежат на диагоналите на първоначалния правоъгълник или на първия отрязан правоъгълник.

Златен правоъгълник

Златен триъгълник е равнобедрен триъгълник, при който отношението на дължините на бедрото и основата е равно на златното сечение.
Съществуват два вида триъгълници, при които отношението на дължините на бедрото и основата е равно на златното сечение: остроъгълен (при който основата е по-малка от бедрото и ъгълът при върха е 36°, а ъглите при основата са 72°) и тъпоъгълен (при който основата е по-голяма от бедрото и ъгълът при върха е 108°, а ъглите при основата са 36°). Вторият вид триъгълници често се нарича сребърен триъгълник.
Във всеки златен триъгълник може да се впише едновременно един сребърен и един златен триъгълник, който е φ пъти по-малък.
Пентаграмът е фигура, образувана от 5 златни триъгълника, вписани в правилен петоъгълник Всяка от петте линии, съставящи тази фигура, дели другата в златно отношение.

Златна спирала е спирала, която се образува при вписване на четвърт от окръжност във всеки квадрат, получен при безкрайно разделяне на златен правоъгълник в поредица от все по-малки златни правоъгълници. Тази спирала се доближава до логаритмична спирала с център пресечената точка на диагоналите на първите два правоъгълника.

Златна спирала в златен правоъгълник

Златно сечение в архитектурата

Въпреки, че не съществуват писмени свидетелства, останали от древните египтяни, смята се, че те са познавали златното сечение, защото отношения, близки до неговата стойност, се срещат в пропорциите на пирамидите. Например отношението на височината на страна на пирамидата в Гиза към нейната дължина в основата е равно на φ/2.

Древните гърци също са познавали това число благодарение на техните познания по геометрия, но не съществуват доказателства, че те са отдавали значение на златното сечение за разлика от числото Пи например. Най-ярък пример за използването на отношението φ в гръцката архитектура е храмът Партенон в атинския Акропол, където златното сечение може да се намери в повечето архитектурни детайли. Цялостното присъствие на това отношение в Партенона, построен от Фидий, налага и използването на първата буква от неговото име φ за отбелязване на златното сечение.

Средновековните архитекти подобно на древните гърци са съчетавали изкуство и геометрия в своите творения и по този начин са използвали златното сечение в проектирането и строителството на църкви и катедрали. Като пример за златно отношение в Средновековието може да се даде катедралата Парижката света Богородица. На фасадата на тази катедрала се вижда, че всеки архитектурен елемент се отнася към някой от останалите в златно сечение, както и че цялата фасада се вписва в златен правоъгълник.

Принципът на златното сечение намира място и в съвременната архитектура. В средата на 20-ти век швейцарският архитект Льо Корбюзие създава скала от отношения за архитектурни форми на базата на златното сечение, наречена Modulor, която се използва широко в модерната архитектура.

Зрителното поле на човека било с отношение на ширината към дължината от 16/9, което е близо до златното сечение, и според някои източници е причина и за новия стандарт на широкоекранните резолюции - 16/9

https://bg.wikipedia.org/wiki/Златно_сечение

[Hatshepsut]

Златното сечение и реда на Фибоначи в изкуството

Източник: https://bgchaos.com/302/fractals/fibonacci-numbers-and-the-golden-section

Кое е общото в скулптурата, изображението, симфонията, стиха...? Възможно ли е да се сравнява красотата? Още древните народи са открили един унифициращ критерий. Тази мярка са нарекли "златно сечение".

Египетските пирамиди

Не разполагаме с писмени свидетелства от древните египтяни за числото "Ф" , обаче в тяхното изкуство и архитектура се съдържат немалко признаци, че то не само им е било известно, но са виждали в него нещо магическо. В частност, те са знаели, как да го построят геометрично от правоъгълник със страни 2/1. Умеели са и да го изведат аритметично от реда на Фибоначи.

Справка за числата на Фибоначи:

Италианският математик Леонардо Фибоначи публикува през 1202 г. редица от числа, всяко от които се получава като сума от предходните две, като първите две числа са 1 и 2: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Той е научил за тази редица от числа по време на пътешествията си в страните от тогавашния Изток и редицата е била наречена на негово име, защото я е популяризирал.

Оказва се, че колкото по-големи са числата от редицата на Фибоначи, толкова отношението на двете последни числа се приближава до 'златното сечение' и при граничен преход (при безкраен брой числа в редицата) става равно на 'златното сечение'.

Често редицата на Фибоначи се свързва и със следната задача: Чифт зайци (мъжки и женски екземпляр) могат да произведат за единица време (напр. един месец) нов чифт зайци, които продължават да се размножават (в класическата задача на Фибоначи на новородения чифт зайци са му необходими два месеца, за да дадат първото си поколение, след което продължават да се размножават всеки месец). Колко е броят на живите чифтове зайци след определено време, ако никой не унищожава зайците? Отговорът се дава от последното число в редицата на Фибоначи. Разбира се, тази задача е чисто илюстративна.

Оказва се обаче, че твърде много закономерности, наблюдавани в природата и в поведението на човека, могат да се опишат, макар и с някаква по-малка или по-голяма грешка, с числа от редицата на Фибоначи, въпреки че в някои случаи това обяснение може да изглежда преднамерено.

Всъщност алгоритъмът за образуване на поредното число от редицата на Фибоначи изразява факта, че следствието (последното число от реда) зависи от предисторията (причините) по конкретния за тази редица начин, а именно: последното число е сума от двете предходни числа. Така този алгоритъм се включва в категорията на т. нар. рекурентни формули. Доколко с алгоритъма на 'златното сечение' могат да се обяснят природни и човешки феномени зависи именно от това, доколко тези феномени са подчиняват на горната проста и същевременно съответстваща добре на 'здравия разум' рекурентна зависимост на следствието от причините, които го пораждат. До Фибоначи основните алгоритми за описване на възпроизвеждащи формули са били аритметичната и геометричната прогресия.

Числата на Фибоначи в математиката образуват редица, която се дефинира рекурсивно по следния начин:

F₀ = 1
F₁ = 1
F_n = F_n-1 + F_n-2

Започва се с 1 и 1, а всеки следващ член на редицата се получава като сума на предходните два. Първите няколко числа на Фибоначи са: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...

Отношенията    са приближени дроби на златното сечение φ и по-специално 

https://bg.wikipedia.org/wiki/Числа_на_Фибоначи

Изследователите са открили тази пропорция в знаменитите пирамиди в Гиза.

   

На горната схема размерите на Голямата пирамида са в "царски лакти" и са в доста любопитни съотношения. Отношението 440:280 може да се сведе до 11:7, което е приближение на p/2, а отношението между височината и половината на страната на пирамидата, се оказва "златно":
 Ф = 1.618 = 356:220.

Древна Гърция

В класическа древна Гърция са възникнали много учения за хармонията, от които най-дълбока следа в световната култура оставило Питагорейското учение. Последователите на гръцкия математик Питагор (560-480 пр.н.е.) си представяли света, вселената, космоса, природата и човека като единно цяло, където всичко е свързано и е в хармонични взаимоотношения. Те представят хармонията като начало на реда, като сила, побеждаваща хаоса. Хармонията е присъща на природата и изкуството: "Едни и същи закони съществуват за музикалните гами и за планетите".

Храмът Партенон в атинския Акропол е може би най-добрия пример за математически метод в искуството. Всяка част, от основния строеж - до най-малкия детайл и орнамент са създадени по пропорцията "Ф".

Ако се възстанови разрушения триъгълен фронтон, височината и основата образуват почти точно златен правоъгълник. Основните архитектурни елементи също се вписват в правилото на "златното сечение".



Питагорейците търсели математическа обосновка на красотата. Те изследвали пропорциите на човешкото тяло и утвърдили математическия канон на красотата, по който скулпторът Поликлет създал статуята "Канон". Цялото класическо изкуство на Гърция носи печата на питагорейското учение за пропорциите. Една от причините, поради която питагорейците избрали пентаграма за символ своя таен орден, е неговата връзка със златното сечение.

   

Разгледайте тази гръцка амфора (IV век пр. н. е.) - чудесен пример за това, как древните елини са използвали златното сечение.

 Отношението между големия и по-малкия й диаметър е точно Ф= D/A = 1:618. Бялата линия, минаваща през основата на дръжките също така дели общата височина в пропорция Ф. Цялата амфора се вписва в златен правоъгълник (B,C), като височината на основата на дръжките е равна на B и отсича квадрат и по-малък златен правоъгълник.



Средни векове

 След питагорейците, средновековният учен св. Августин нарича красотата "числово равенство". Средневековните строители на църкви и катедрали достигнали разработката на пропорциите на своите строежи до също така съвършенна геометрическа структура като при древните гърци. Натоварвайки своите култови строежи със сложна и многослойна символика, те смятали, че като се следва определена геометрична логика, сградата се оказва заредена със свещенна сила

Вдясно е фасадата на прочутата "Нотр Дам дьо Пари". Цялата  се вписва в златен правоъгълник, а също и всеки обособен архитектурен елемент. Вертикално е също е  разчленена по реда на Фибоначи.

 По-долу ще видите плана на готическата катедрала: "Notre-Dame" в Амиен (1220г.). Централния и напречния неф (кораб), а също и всяка четворка колони оформят златни правоъгълници.

   

Ренесанс

Но докато в средновековната архитектура интересът към геометрията, златното сечение и към математиката в цяло, бил огромен, то художниците от онова време като че ли са го загубили съвсем. Едва през XIV век Лука Пачиоли (1445-1514), отново открива "златната тайна" и й посвещава публикацията "Divina Proportione", илюстрирана не от кой да е, а от Леонардо да Винчи, човек с широки интереси както към изкуството, така и към математиката и природата.

   

Гениите на Ренесанса са черпели вдъхновение от класически теми и са създавали своите композиции по законите на златния коефициент.
 Човешките фигури, както в живописта, така и в скулптурата съответстват на хармоничните критерии на античните канони.



На тавана на Сикстинската капела ясно изпъкват златните правоъгълници, със знаменитите фрески на Микеланджело Буанароти.

След титаните на италианския Ренесанс ( Леонардо, Ботичели, Тициан, Микеланджело и Рафаел) и техния северен събрат - Албрехт Дюрер - (художник с широки познания в геометрията) от 1600 г. до началото на 18 век доминира стилът "барок". Произведенията на живописта, скулптурата и архитектурата в този стил, както и при следващите го "рококо" и "неокласицизъм" са все така премерени и балансирани по мерките на "златното сечение".

Импресионизъм и изкуството от началото на XX век

Импресионистите се противопоставят на условностите на класицизма, романтизма и академизма, търсели са красотата на ежедневното, опитвали са се да уловят "впечатлението" (impression), но въпреки това и в техните намираме следите на "златното сечение". То просто е станало част от обучението в "занаята" на всеки художник, независимо от школата, на която принадлежи.

В картината на Мане "Бар във Фоли Бержер" фигурата на барманката се вписва в златен триъгълник:



Съвременна живопис - модернизъм

За сюреализма е характерно пристрастието към ирационалното. Салвадор Дали със педантична точност изписва всеки детайл на своите удивителни, често напомнящи на халюцинации картини. Но композициите на Дали са построени на строги геометрични канони - в тях има и златно сечение, и реда на Фибоначи. Дали казва: "Трябва да включиш своята реалност в някакъв случаен фрагмент на действителността и да го подчиниш на геометрията и мистицизма".



Музика

Числата на Фибоначи безспорно са част от естествената хармония, която е приятно да се усеща, приятно изглежда и даже приятно звучи.

Музиката е основана на 8-степенна октава, като 1, 3, и 5-та нота създават основата на всички акорди. Благозвучните, хармонични акорди не са случайни. Най-важните хармонично звучащи интервали могат да се получат с помощта на отношенията на числата 1, 2, 3, 4. Ако дължината на струната или дължината на флейтата се намали двойно, то тонът им ще се повиши с една октава. Ако ги намалим в съотношение 3:2 или 4:3, то на това ще съответстват музикалните интервали квинта или кванта. Когато струните са три, хармоничният акорд се получава, когато съотношението на дължините на тези струни са близки към 3:4:6.

На пианото, октавата е представена от 8 бели клавиши и 5 черни - всичко 13. Не е случайно, че музикалната хармония, която, като че ли, носи най-голямо удоволствие, е мажорното шестзвучие. Нотата Е (ми*) звучи като съотношение 0.625 към нотата С (до*). Само на 0.006966 повече от точното Златно сечение, съотношенията на мажорното шестзвучие предизвикват приятни колебания в охлюва на вътрешното ухо - орган, който едва ли случайно има форма на логаритмична спирала.

Няма нищо мистично

Многобройните прояви на числата на Фибоначи и златното сечение в природата обясняват защо пропорцията 1:1.618... е така привлекателна и в изкуството. Ние просто виждаме отражението на живота в изкуството. Затова възприемаме околната среда не като набор от линии и плоскости, а като хармония и красота на природата.

Но колкото и да е вълнуващо, в това няма нищо мистично. Дано не сте останали с впечатление, че се опитвам да ви го внуша. Защото макар и да съществуват тези закономерности, то тяхното разпространение не е абсолютно, а статистическо. Защо "Ф" трябва да е универсален код на Вселената, заложен в нашите гени, част от някакъв мистичен план за изграждане на нашия микро и макрокосмос. А какво езотерично има в това, че растението (черупката на охлюва) нараства толкова, колкото е порастнало досега, плюс току-що израстналото. И ако ние, хората сме се развивали по същия закон е вероятно нашите сетива да изпадат в нещо, подобно на резонанс (съвпадение на честотите на трептенията) с гледки и звуци, които затова и да ни харесват.

Предполагам, че на всеки е ясно - картини и музика не се създават само с реда на Фибоначи - той е само скелет и съвсем не е достатъчен (поне в повечето случаи).

[Hatshepsut]

Златното сечение в природата

Няма да откриете числата на Фибоначи навсякъде в природата. Много от растенията и животните изразяват различни числови поредици. Пък и само защото числова редица може да бъде приложена към даден обект,  не означава непременно, че съществува взаимовръзка между цифрите и реалността. Както при нумерологичните суеверия от типа на това, че известните хора умират в комплекти по трима. Понякога съвпаденята са си просто... съвпадения.



Числата на Фибоначи, обаче, се проявяват достатъчно често в природата, което доказва, че отразяват някои природни закономерности. Обикновено можете да ги забележите, запознавайки се с начина, по който се развиват растенията. Ето няколко примера:

Глухарчета, борови шишарки, плодове и зеленчуци. Погледнете подредбата на семената в слънчогледовата пита и ще забележите, че изглежда като спирали, извиващи се няляво и надясно. Удивителното е, че ако преброите тези спирали, общият им брой ще бъде число на Фибоначи. Ако разделим спиралите на сочещи наляво и такива, сочещи надясно ще получим две поредни числа на Фибоначи. Можете да разчетете строежа на спиралите при шишарки, ананас или пък карфиол. Всички те демонстрират Редицата на Фибоначи.



Цветя и клонки:

Някои растения изразяват Редицата на Фибоначи в точките си на растеж. Това са местата, където клоните на дърветата се формират или разклоняват. Стъблото расте докато оформи клон, обособявайки две  точки на растеж. Тогава главното стъбло произвежда друг клон, оформяйки три точки на растеж. После стъблото и първият клон оформят още две точки на растеж, като общият брой на точките достига пет (2+3=5). Тази схема продължава, следвайки Редицата на Фибоначи. В допълнение, ако преброите венчелистчетата на някое цвете, често може да откриете, че общият им брой е число от поредицата на Фибоначи. Например лилията и перуниката имат по три венчелистчета, лютичетата и дивите рози – по пет, зюмбюлът има осем и така нататък.

Медоносни пчели:

Една пчелна колония се състои от царица, няколко търтея и много работници. Женските пчели (царицата и работниците) имат по двама родители – търтей и царица. Търтеите, от друга страна, се излюпват от неоплодени яйца. Това означава, че те имат само по един родител. Следователно, числата на Фибоначи изразяват родословното дърво на търтеят, който има един родител, двама прародители, трима пра-прародители и така нататък.



Човешкото тяло:



Хвърлете си един поглед в огледалото. Ще забележите, че повечето от частите на тялото ви следват числата едно, две, три и пет.  Имате един нос, две очи, крайници, състоящи се от по три отделни части и по пет пръста на всяка от двете си ръце. Пропорциите и мерките в човешкото тяло също могат да бъдат класифицирани според златното сечение. Молекулата на ДНК също следва тази поредица, бидейки дълга 34 ангстрьома (един ангстрьом е равен на 10 на минус 10-та степен m или 0,1 nm/нанометър/) и широка 21 ангстрьома за всеки пълен цикъл от двойната спирала.

Защо толкова много природни модели следват Редицата на Фибоначи? Учените си блъскат главите над това от векове. В някои случаи взаимовръзката може да е съвпадение. В други – съотношението съществува защото този специфичен  модел на растеж е резултат от еволюцията и е  най-ефективен. При растенията това може да означава например максимално излагане на слънце за листата или пък оптимално разпределение на семената.

https://saprotiva.org/chislata-na-fibonachi-v-prirodata/



Nature by numbers

[Hatshepsut]

Златното сечение при животните

Безгръбначни

Още най-низшите организми нарастват по законите на златното сечение. Най-вляво е снимка на фораминифера - просто многоклетъчно, рядко достигащо 1mm. Следват различни видове радиоларии.
Tholospyris devexa
Lamprocyclas maritalis
Triactoma hexeris. Нейните три разклонения са разположени под ъгъл: 137.5o/85o/137.5o, а те са в съотношение 1.618/1/1.618



Благодарение на съвършената им геометрична форма, златното сечение се вижда в цялото многообразие от раковини. При това, признаците на хармоничност се изразяват не приблизително, а почти точно.

Вляво е охлюв от вида Haliotidae, около чиято черупка могат да се вписват последователно златни правоъгълници.
 Обърнете внимание и на тази раковина от вида Epitonium. Всяка извивка е по-голяма от предишната точно с 1.62, а целият охлюв се вписва в златен правоъгълник (ширина/дължина=1/1.62).



Краб, паяк, пеперуда пауново око, мравка, бръмбар Eurydema (дървеница), муха, водно конче.





Риби

И акулата, и обикновеният шаран, и ската, и есетрата, и малката атерина.







Земноводни и влечуги

Леопардова жаба, гущер и гекон.



Птици







Както се вижда: от кокошката до яйцето можем да открием златните пропорции. Има ги и в птичите "портрети", и при безпорните красавци като лебедите, така и при по-непретенциозни птички до също така безпорни грозотии като пуйкоподобния лешояд.

Бозайници









Човек

Най-древните данни за пропорциите на човешкото тяло са от Египет - около 3000 г до н.е. Оттогава до сега учени и художници са написали много за хармоничните пропорции на човешкото тяло.

Известни са:
- египетския канон от времето на фараоните;
- канона на египтяните от епохата на Птоломеите (на красивата Клеопатра);
- каноните на Древна Гърция и Рим, канона на Поликлет, който дълго време е бил общопризнат;
- изследванията на Алберти, Леонардо да Винчи, Микеланджело и учените на средни векове, и сред тях, широкоизвестния труд на Дюрер.



Леонардо да Винчи го нарича Sectio aurea, откъдето тръгва термина "златно сечение". Съгласно неговите художествените канони, тялото се дели от пъпа на две части в съотношение 1:1.618). В прочутата си рисунка, той се опитвал на основата на древни литературни сведения да възстанови т. н. "квадрат на древните".



Според Албрехт Дюрер в "Четири книги за пропорциите на човешкото тяло" ръстът на човека се дели в златни пропорции от линията на талията, а също от линията, прекарана през краищата на средните пръсти на отпуснатите ръце, както и лицето се дели от устата и т.н. Конструира пергел за определяне на пропорцията.

В епохата на Ренесанса златната пропорция става главен естетически принцип. По онова време размерите на човешкото тяло се определяли, като са използвали отношението им към размера на главата или стъпалото; по-късно се разпространяват навсякъде като мерни единици "стъпало" (фут).





Немският професор Цайзинг в средата на XVIII-ти век извършил гигантска работа, измервайки повече от 2000 тела . Той установява, че в златното сечение е в основата на цялата морфология, включително и на строежа на човешкото тяло.

https://bgchaos.com/

[Hatshepsut]

Златното сечение – глобална константа на Вселената

Вселенската константа, известна като ,,златна пропорция", може да се открие във формата на ураганите, в бивните на слоновете и дори в галактиките.

Сега изследователите твърдят, че това отношение се проявява дори и в топологията на пространство-времето, което влияе на целия свят.

Д-р Ян Боенс от университета на Претория и д-р Франсис Текерей от университета на Уитуотърсранд, Южна Африка, твърдят, че златното сечение – 1,618 – е свързано не само с аспектите на математиката, но и с физиката, химията, биологията и топологията на пространство-времето. И е възможно то да диктува как някои неща във Вселената приемат определена форма.

Златното сечение, обозначавано с гръцката буква φ, се явява математическа връзка между две сечения на обекта.

Понякога то се използва специално – например някои художници от ХХ век са го прилагали при рисуване на портрети, като смятали, че това създава естетичен приятен външен вид на рисунката.

Но златното сечение се появява и в природата – в стъблата на растения, скелети на животни и т.н. Формата на спиралата също следва златните пропорции – това говори, че геометричните форми във Вселената също се поддават на същото математическо свойство.

,,Убедителни доводи в полза на космическия характер на златната пропорция е повсеместното разпространение на логаритмичната спирала – пишат изследователите от Южна Африка. – Забележителни примери са формата на галактиката Водовъртеж (M51), амонитите, формата на раковините Nautilus, формата на урагана Катрина и разпределението на планетите, луните, астероидите и пръстените в Слънчевата система."

Изследователите смятат, че това отношение е толкова разпространено, тъй като то представлява проява на вътрешните свойства на пространство-времето. Макар че причините, поради които Вселената следва това съотношение, още са неизвестни.

Някои смятат че нашата добре настроена Вселена се явява просто щастливо стечение на обстоятелствата и изхождайки от теорията за Мегавселена, съществува безкраен брой други вселени, на които им е провървяло доста по-малко.

https://megavselena.com/zlatnoto-sechenie-globalna-konstanta-na-vselenata/

[Hatshepsut]

Как числата на Фибоначи управляват Вселената

Πocлeдoвaтeлнocттa нa Фибoнaчи, ĸoятo нocи имeтo нa итaлиaнcĸия мaтeмaтиĸ Лeoнapдo Фибoнaчи, e yдивитeлeн фeнoмeн, ĸoйтo ce cpeщa ĸaĸтo в cвeтa нa чиcлaтa, тaĸa и в пpиpoднитe cтpyĸтypи. Tя зaпoчвa c eднo пpocтo пpaвилo: вcяĸo чиcлo e cбop oт пpeдишнитe двe. Haпpимep, aĸo зaпoчнeтe c чиcлaтa 0 и 1, нa cлeдвaщaтa cтъпĸa щe пoлyчитe 1 (0+1), cлeд тoвa 2 (1+1), 3 (1+2), 5 (2+3) и т.н. Taĸa пocлeдoвaтeлнocттa изглeждa ĸaтo 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т.н. Ho зaщo имeннo тaзи пocлeдoвaтeлнocт ce нaблюдaвa в пpиpoдaтa и в peдицa дpyги oблacти?

Иcтopиятa нa възниĸвaнe: зaйцитe и зaдaчaтa нa Фибoнaчи

Bъпpeĸи чe пocлeдoвaтeлнocттa нa Фибoнaчи e извecтнa oт вeĸoвe, тя e пoпyляpизиpaнa в Зaпaднa Eвpoпa c ĸнигaтa нa Фибoнaчи, пyблиĸyвaнa пpeз 1202 г. B тaзи ĸнигa, нapeчeнa Lіbеr Аbасі (Kнигa зa aбaĸa), мaтeмaтиĸът пpeдлaгa интepeceн пpoблeм. Πpeдcтaвeтe cи, чe двoйĸa нoвopoдeни зaйци, мъжĸи и жeнcĸи, ca пocтaвeни в идeaлни ycлoвия зa paзмнoжaвaнe. Cлeд eдин мeceц тe cтaвaт cпocoбни дa ce възпpoизвeждaт и cъздaвaт пoтoмcтвo пpeз вceĸи cлeдвaщ мeceц. Cъщecтвyвaт oбaчe peдицa oпpocтявaния: зaйцитe нe yмиpaт, пoтoмcтвoтo им ce пoявявa peдoвнo и пpoблeмитe c инбpидингa ce пpeнeбpeгвaт.

Ha бaзaтa нa тeзи ycлoвия Фибoнaчи зaдaвa въпpoca: ĸoлĸo двoйĸи зaйци щe имa зa eднa гoдинa? Oĸaзвa ce, чe aĸo ce cлeдвa пpeдлoжeнaтa oт нeгo лoгиĸa, бpoят им ce yвeличaвa пo мoдeл, идeнтичeн c пocлeдoвaтeлнocттa нa Фибoнaчи. B ĸpaя нa пъpвия мeceц ocтaвa eднa двoйĸa зaйци. Двa мeceцa пo-ĸъcнo ce пoявявa втopa двoйĸa, a в тoзи мoмeнт тe вeчe ca двe. Πpeз тpeтия мeceц eднa oт двoйĸитe oтнoвo дaвa пoтoмcтвo и в ĸpaйнa cмeтĸa бpoят нa двoйĸитe cтaвa тpи и тaĸa пpoдължaвa дo ĸpaя нa гoдинaтa. Πpи тaзи cxeмa дo двaнaдeceтия мeceц в пoлeтo щe имa 144 зaeĸa.

Природни изяви на последователността на Фибоначи

Bъпpeĸи чe пpoблeмът cъc зaйцитe e идeaлизиpaн пpимep, пocлeдoвaтeлнocттa нa Фибoнaчи e нaмepилa изнeнaдвaщ бpoй aнaлoгии в пpиpoдaтa. Taĸa нaпpимep тя ce cpeщa в бpoя нa вeнчeлиcтчeтaтa нa цвeтятa, в cтpyĸтypaтa нa шишapĸитe, в извивĸитe нa paĸoвинитe, в ĸлoнитe нa дъpвeтaтa и дopи в cтpyĸтypaтa нa гaлaĸтиĸитe.

Зaщo тoвa e тaĸa? Eднa oт пpичинитe ce ĸpиe в cтpeмeжa нa пpиpoдaтa ĸъм eфeĸтивнocт и xapмoния. Зa pacтeниятa нaпpимep e вaжнo лиcтaтa им дa пoлyчaвaт мaĸcимaлнo ĸoличecтвo cлънчeвa cвeтлинa. Aĸo лиcтaтa ce paзпoлoжaт пoд ъгли, ĸoитo ca ĸpaтни нa цeли чиcлa (нaпpимep пoлoвинaтa, eднa тpeтa или eднa чeтвъpт oт oбиĸoлĸaтa нa cтъблoтo), тe щe ce зaĸpият взaимнo. Зa дa peши тoзи пpoблeм, пpиpoдaтa изпoлзвa иpaциoнaлни ъгли, ĸoитo ce дoближaвaт дo злaтнoтo ceчeниe. Toвa дaвa възмoжнocт нoвият лиcт дa бъдe paзпoлoжeн пo тaĸъв нaчин, чe дa ce cвeдe дo минимyм пpипoĸpивaнeтo c пpeдxoднитe лиcтa и дa ce yвeличи мaĸcимaлнo cлънчeвaтa cвeтлинa.

Злaтнoтo ceчeниe и вpъзĸaтa мy c пocлeдoвaтeлнocттa нa Фибoнaчи

Злaтнoтo ceчeниe (oбoзнaчaвaнo ĸaтo φ и paвнo пpиблизитeлнo нa 1,618) e yниĸaлнo чиcлo, ĸoeтo ce cpeщa нe caмo в мaтeмaтиĸaтa, нo и в пpиpoдaтa, apxитeĸтypaтa и изĸycтвoтo. Toвa cъoтнoшeниe мoжe дa ce пoлyчи чpeз paздeлянe нa oтceчĸa нa двe чacти тaĸa, чe cъoтнoшeниeтo нa цялaтa дължинa ĸъм пo-гoлямaтa чacт дa e paвнo нa cъoтнoшeниeтo нa пo-гoлямaтa чacт ĸъм пo-мaлĸaтa. Bpъзĸaтa мeждy пocлeдoвaтeлнocттa нa Фибoнaчи и злaтнoтo ceчeниe ce виждa oт фaĸтa, чe cъoтнoшeниeтo нa пocлeдoвaтeлнитe чиcлa нa Фибoнaчи ce дoближaвa дo cтoйнocттa φ. Koлĸoтo пo-дaлeч e пocлeдoвaтeлнocттa, тoлĸoвa пo-близo e тoвa cъoтнoшeниe дo злaтнoтo ceчeниe.

Eднa oт yниĸaлнитe xapaĸтepиcтиĸи нa злaтнoтo ceчeниe e, чe тo e иpaциoнaлнo. Toвa oзнaчaвa, чe тo нe мoжe дa бъдe тoчнo изpaзeнo ĸaтo oбиĸнoвeнa дpoб. Bъпpeĸи тoвa пocлeдoвaтeлнитe oтнoшeния нa чиcлaтa нa Фибoнaчи ни пoзвoлявaт дa ce дoближим мaĸcимaлнo дo нeгo. Πopaди тaзи пpичинa злaтнoтo ceчeниe ce e пpeвъpнaлo в cимвoл нa xapмoниятa и cъвъpшeнитe пpoпopции.

Maтeмaтичecĸoтo oбяcнeниe нa пpиpoднитe явлeния

Teзи мaтeмaтичecĸи пpинципи пoмaгaт дa ce oбяcнят мнoгo пpиpoдни явлeния. Taĸa нaпpимep cпиpaлитe, ĸoитo ce oбpaзyвaт в cтpyĸтypaтa нa чepyпĸитe, шишapĸитe, цвeтятa, гaлaĸтиĸитe и дpyги oбeĸти, cлeдвaт мoдeли, cвъpзaни cъc злaтнoтo ceчeниe и пocлeдoвaтeлнocттa нa Фибoнaчи. Aĸo paзглeдaтe пoдpeдбaтa нa ceмeнaтa в cлънчoглeдa или cтpyĸтypaтa нa шишapĸaтa, щe зaбeлeжитe, чe бpoят нa cпиpaлитe пo пocoĸa нa чacoвниĸoвaтa cтpeлĸa и oбpaтнo чecтo e paвeн нa cъceднитe чиcлa oт пocлeдoвaтeлнocттa нa Фибoнaчи (нaпpимep 5 и 8 или 8 и 13). Toвa нe e cлyчaйнo – пoдoбни мoдeли дaвaт възмoжнocт нa oбeĸтa дa pacтe и дa ce paзвивa възмoжнo нaй-eфeĸтивнo.

Teзи зaĸoнoмepнocти нe caмo oбяcнявaт oптимaлнитe фopми и cтpyĸтypи в пpиpoдaтa, нo и пoĸaзвaт ĸoлĸo дълбoĸo в cвeтa нa живaтa пpиpoдa пpoниĸвaт мaтeмaтичecĸитe зaĸoни. Baжнo e дa ce oтбeлeжи oбaчe, чe нe вcичĸи пpиpoдни cпиpaли cлeдвaт cтpиĸтнo чиcлaтa нa Фибoнaчи. Hяĸoи виxpи или ypaгaни мoжe дa нaпoдoбявaт тaĸивa фopми, нo пpи пoдpoбнo изcлeдвaнe ce oĸaзвa, чe тe нe cлeдвaт тaзи пocлeдoвaтeлнocт зa пpoдължитeлни пepиoди oт вpeмe. Bъпpeĸи тoвa тeзи нaблюдeния пoдчepтaвaт ĸoлĸo дълбoĸo пpиpoдaтa e интeгpиpaлa мaтeмaтичecĸитe пpинципи в cвoитe пpoцecи.

Πocлeдoвaтeлнocттa нa Фибoнaчи нe e пpocтo мaтeмaтичecĸa aбcтpaĸция. Heйнитe пpoявлeния мoгaт дa ce видят в мнoгo paзлични acпeĸти нa зaoбиĸaлящия ни cвят – oт pacтeниятa и живoтнитe дo звeзднитe cиcтeми. Πpиpoдaтa, cтpeмящa ce ĸъм oптимизaция и xapмoния, изпoлзвa зaĸoнитe нa мaтeмaтиĸaтa, зa дa cъздaвa eфeĸтивни и cтaбилни cтpyĸтypи. Toвa пoĸaзвa ĸoлĸo тяcнo ca пpeплeтeни нayĸaтa и пpиpoдaтa и дaвa нoв пoглeд въpxy фyнĸциoниpaнeтo нa cлoжнитe cиcтeми, ĸoитo нa пpъв пoглeд изглeждaт пpocти.

https://www.kaldata.com/