Бройни системи

[Hatshepsut]

Бройни системи

Кристина Юлиянова Пальова, научен редактор и бележки Лъчезар Томов

Какво всъщност представлява бройната система? Това е правило за именуване и записване на цели числа чрез краен брой знаци, наречени цифри. Бройните системи се разделят на два вида – позиционни и непозиционни като определящият фактор за тяхната класификация е дали стойността на цифрата зависи от мястото ѝ в записа на числото. В основата на позиционните бройни системи стоят т.нар. основи или бази. Най-често се употребяват четиринадесет основи, които определят броя на числата, използвани при работата с дадената система. За да става ясно дадено число към коя бройна система принадлежи, то често до него се пише и основата. Например числото 50 в десетичната бройна система бихме записали като 50(10), а в двоичната – 110010(2).

Основа    / Име на системата
2    двоична
3    троична
4    четвъртична
5    петична
6    шестична
7    седмѝчна
8    осмична
9    деветична
10    десетична
11    единадесетична
12    дванадесетична
16    шестнадесетична
20    двадесетична
60    шестдесетична

Има две основни тези за начина на възникване на броенето. Първата е, че то е възникнало спонтанно в различни места по света, независими едно от друго. Някои учени обаче отхвърлят тази теория. Така например през 1913 г. американският антрополог У. Ч. Ийлс анализирал триста и седем различни системи за броене на северноамериканските индианци. Той стигнал до извода, че сто четиридесет и шест (над една трета) от тях са десетични, а сто и шест (над една трета) са комбинации между петична, десетична и/или двадесетична система. Според него приликите в бройните системи в различните краища на света свидетелстват, че броенето вероятно е възникнало в един регион и оттам е започнало да се разпространява.

Преди да възникнат бройните системи обаче, хората е трябвало да преминат от конкретното към общото. Преди повече от 250 000 години нашите прадеди развили умението да броят, което изключително много улеснявало тяхното ежедневие . Важно е да се отбележи, че първоначално те отчитали не количествени, а качествени изменения в предметите. И до днес в някои езици има запазени качествени термини от тази епоха на мислене на човека. Така например в стария език на остров Фиджи съществуват различни думи, обозначаващи десет еднакви предмета: ,,бола" означава десет лодки, а ,,коро" – десет кокосови ореха.

Преминаването от качествено към количествено мислене е изключително важна стъпка към модерната математика и сегашната ни представа за числата, тъй като способността за различаване на количествени белези свидетелства за по-голяма степен на развитие. Абстрактната представа за числото пет постепенно започва да се откъсва от битовото понятието ,,пет животни".

Почти сигурно е, че едно от първите помощни средства за броене, които древните хора са употребявали, са частите на тялото. Този метод съвсем естествено води до използването на основи пет, десет и двадесет. Така например племето фасу от Нова Гвинея използвало пръстите на ръката за числата от едно до пет, дланта да шест, китката за седем, долната част на ръката за осем. За тях носа представлявал числото осемнадесет. Номадските племена еленовъди използвали подобна система. Те изразявали стадо от деветдесет и четири елена по следния начин – трима души върху един, плюс още половин човек, едно чело, две очи и един нос. Чукчите, племе от Североизточен Сибир, също използвали тази система: за тях ,,ръка" означава пет (броят на пръстите на ръката), а ,,човек" двадесет. Стадо от сто елена биха онагледили като пет човека.

Освен с частите на тялото, хората са си служели и с други външни помощни средства на паметта като например с т.нар. рабош. Най-старият намерен такъв инструмент е от планините Лебомбо, намиращи се на границата между ЮАР и Свазиленд. Костта от Лебомбо представлява фибула (малък пищял) от бабун, върху която ясно личи поредица от 29 нареза, направени преди около 37 000 години. Рабошите работят на принципа на взаимното еднозначно съответствие или, казано с други думи, съответствие ,,едно към едно" между реални обекти и символи. Това допотопно пособие се оказало толкова ефикасно, че се използвало чак до началото на XX век.

Костта от Лебомбо


Двуредов рабош за вземане на хляб на кредит от хлебаря в с. Голямо Бельово, Пазарджишко, 1927 г.

Друг пример за външно помощно средство за запаметяване са прочутите кипу на древните инки. Те били изработвани от разноцветни конци от вълна на лама или алпака с множество навързани по тях възли и нанизани на общ шнур или въже. Възлите на отделните нишки показвали различни числа, които се определяли от броя на усукването на конеца. По-големите числа или суми се изразявали с помощта на групи от възли. Съществуват и теории, които обаче все още не са доказани, че цветове на нишките съответства на вида предмети, които са подложени на дадено преброяване.

Кипу

Следващата фаза на развитие на броенето и математиката е елементарната аритметика. Много племена от цял свят използват т.нар. кумулативно броене. Този вид система се основава на простото събиране и изваждане. При нея по-големите числа се получават от събиране на по-малките. Примери за това са системите на племената гумгулгал  и камиларои. Основата при този вид системи е малка – при племето гумгулгал е две, а при камиларои – три. Някои племена в Африка също са ползвали подобни системи. Те са изразявали числото десет по следния начин: 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2. При тях основата също е две.

Маите изобретили своя позиционна бройна система с основа на двадесет, която не е повлияна от останалите евразийски цивилизации. Всички числа са можели да се записват само с три символа – нула или още наречена черупка, едно (точка) и пет (хоризонтална черта). Всички числа в двадесетичната система, които са по-големи от деветнадесет, се записват вертикално като степен на двадесет, за разлика от десетичната, където числата се записват хоризонтално като степен на десет. Така например числото тридесет и три се изразява по следния начин: във втори разред се поставя една точка, а в първи – две черти и три точки. Единичната точка във втори разред е равна на двадесет (1.20), което се добавя към останалите символи от първи разред. При това групиране се получава изразът (1.20)+1+1+1+5+5, който е равен на тридесет и три. Начинът на извършване на аритметични действия в двадесетична бройна система е почти идентичен с този при познатата ни десетична. Събирането и изваждането представляват групиране на различни символи във всеки разред. При събирането ако в разред се получат пет или повече точки, то те се заменят с хоризонтална черта, а при получаване на четири или повече черти, то те се изтриват и в горния разред се поставя точка. При изваждането важат същите правила – ако нямо достатъчно точки в даден разред, то една хоризонтална черта се заменя с пет точки, ако няма достатъчно черти, то точки от точка от горния разред се заменя с четири черти в долния. За умножението пък маите са използвали таблица подобна на днешната.

Числата на маите от 1 до 19


Събиране и изваждане при маите


Таблицата за умножение при маите

Дотук разглеждахме ранните и по-прости етапи в развитието на броенето и бройните системи. В следващите епохи системите се групират по начин на записване на цифрите, а не по вида на основата, която използват.

Първият и най-прост начин за записване на цифрите е чрез групиране. При него по-големите числа включват в себе си повече рабошови черти. Така например числото 4 може да се записва като IIII. Установено е, че четири е най-голямата група от предмети, която човешкият ум може да възприеме без да брои. По тази причина по-големите числа като пет се записват като се добави една хоризонтална черта към група от четири вертикални. Друг начин за работа с тази система е методът за събиране и изваждане като при римските числа, при който поставянето на по-голяма цифра пред по-малка цифра означава събиране, а обратното – изваждане. Така например VI е еквивалентно на шест, а IV – на четири. Древните египтяни също използват този вид записване. Тяхната бройна система е с основа десет и те имат отделни знаци за числата десет, сто, хиляда и така до милион. В един разред се записват до девет еднакви символа (за числата от едно до девет), които са подреждани така че лесно да бъдат разпознавани. Въпреки че тази система е лесна за запаметяване, си има и своите недостатъци. Дори при цифрите от едно до десет се налага използването на няколко знака, а при по-големите тази бройка може да достигне и до осем. Египтяните решили този проблем като започнали да използват т.нар. йератическо писмо.

Таблица, представляваща йероглифните числа, техните йеретически съответствия и стойностите с арабски цифри

Вторият начин за записване е чрез мултиплициране. Тук записаните една до друга в някаква последователност цифри се умножават, а не се събират. В Китай и до днес използват тази система. В нея има символи за числата от едно до девет и за десет, сто и хиляда. Големите числа се записват, като цифрите от едно до девет съответно се умножат по десет, сто или хиляда. Тази система позволява записването на числата от едно до десет с един символ, от единадесет до двадесет – с два, тези до деветдесет и девет – с три. Този метод на записване е по-труден за запомняне, но заема по-малко място върху хартията.

Образуване на числата в китайската бройна система

Третият начин за записване  на числата, по който работи и йератическото писмо, е с помощта на код. Тук всяко голямо кратно число – 10, 20, 30 и т.н.; 100, 200, 300 и т.н.; 1000, 2000, 3000 и т.н., си има отделен знак, с който се записва. По този начин едно четирицифрено може да се запише с помощта на четири символа. Недостатъкът на тази система е, че големият брой на специфични символи обаче прави тази система трудна за запаметяване. Това обаче може да е направено умишлено при разработването ѝ, тъй като по това време само високообразованите хора са били посветени ,,посветени в тайните" на числата. Друг тип кодова система е записването на цифрите с букви. Той се ползвал от древните гърци, евреите и българите.

Римските числа


Еврейските числа


Числата в старобългарския език

Четвъртият и последен начин за записване на числата е чрез позициониране. По своята същност този метод си прилича с мултипликацията, но тук мястото на символа в числото показва от кой разред е и каква е неговата стойност. Позиционните системи балансират между удобство при използване и лесно заучаване. Именно заради това те са най-широко разпространените в днешно време. Те обаче могат да функционират само при наличието на нулата. Без нея няма как да се покаже, че числата, изписани с две и пет – 25, 205 и 250, всъщност са с различна стойност. Този проблем е решен от китайците през III в. пр. н. е. Те оставяли разстояние между числата на мястото на нулата.

Предполага се, че първата цивилизация, използвала позиционна система още преди трето хилядолетие преди новата ера, е вавилонската. Шумерите възприемат шестдесетичната числова система, чиято основа е 60. Поради тази причина те въвеждат специални символи за числата шестдесет и три хиляди и шестстотин и техните реципрочни. Тази позиционна бройна система позволява лесно записване на по-големите числа без да се налага смятане. При нея записването на знаците ставало в колона. Ако в някоя от колоните липсвал знак то те оставяли празно място. Например записът на числото 1,_,1 означава следното: (1.3600)+(николко.60)+1=3601 по десетичната система. Това довело до раждането на ,,вавилонската нула". Тя обаче никога не се пишела в края на числото и това все пак създавало някои проблеми. Така например 15 може да си е просто 15, но също така 150 или 1500. В Древна Месопотамия използвали и дроби, но тъй като не пишели десетична запетая, се предполага, че стойността на дадено число се е разбирала от контекста, в който се използвал. Така същото число 15 може да е и 1,5.

Клинопис

С някои от тези бройни системи се работи и до днес. Така например двоичната бройна система се използва в програмирането. Всички цифри се представят с помощта само на 0 и 1. Числата от 0(10) до 9(10) биха изглеждали по следния начин в тази бройна система: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000 и 1001. Аритметичните действия се извършват по правила, много сходни с тези при десетичните числа. Разликата е, че се използват само 0 и 1.

Както стана ясно, през вековете бройни системи са се появявали на множество места. Въпреки това разликите между тях са минимални и всички те се записват с помощта на четири основни принципа. Развитието на бройните системи свидетелства за напредъка на хората и тяхното общо, споделено математическо мислене. Разглеждайки най-ранните опити на човека да си обясни основите на аритметиката, а с нейна помощ и всичко, което го заобикаля, ни дава ясна представа колко далеч сме стигнали в разгадаването на мистериите на света, но в същото време и колко много път ни остава, докато сглобим пълната картина за Вселената.



Библиография

И. Г. Башмакова, Е. И. Берьозкина, А. И. Володарски, Б. А. Розенфелд, А. П. Юшкевич, том 1 От най-древни времена до началото на новото време, ,,Наука и изкуство", 1968

Д.Я.Стройк. Кратък очерк по история на математиката, ,,Наука и изкуство", 1970

C.Boyer (author), Uta C. Merzbach (contributor). A History of Mathematics, Wiley; 3rd Edition (December 27, 2010)

Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Ed. Addison–Wesley. pp. 194–213, ,,Positional Number Systems".

https://nauka.bg/broini-sistemi/

[Hatshepsut]

Римски цифри

Римските цифри са цифри, използвани от древните римляни в тяхната непозиционна бройна система. Поради своята непрактичност в днешно време тази система намира твърде ограничено приложение приложение някои области, предимно за номериране на еднотипни обекти.

Естествените числа се записват чрез римските цифри с помощта на повтарянето им, подчинено на определени правила. Тази система се появява около 500 г. пр.н.е. у етруските.

Римските цифри са следните:

I = 1 (едно)
IV = 4 (четири)
V = 5 (пет)
IX = 9 (девет)
X = 10 (десет)
L = 50 (петдесет)
C = 100 (сто) / лат. centum
D = 500 (петстотин) / произлиза от половината на гръцката буква Φ използвана за 1000
M = 1000 (хиляда) / лат. mille, или се е използвала гръцката буква Φ.

Забележка: цифрата 0 не съществува.

Системата, използвана в Античността, е претърпяла малки промени през Средновековието и се различава от тази, която се използва днес. Изписването на римските цифри е било нормализирано и се базира на няколко основни принципа:

Символите се изписват и четат от ляво надясно.
Всеки символ, намиращ се отдясно на друг символ с равна или по-голяма стойност, се прибавя към тази стойност.
Всеки символ, намиращ се отляво на друг символ с по-голяма стойност, се изважда от тази стойност.
Символите са групирани в низходящ ред по стойност, освен тези, за които се прилага предишното правило. На практика това правило гласи, че при римските цифри първо се изписват хилядите, после стотиците, след това десетиците и накрая единиците.
Символ, представляващ стойност 10^x, не може да се поставя пред символ, по-голям от 10^x+1. Така например M може да бъде предшестван от D и C, но не и от I, V, X или L.

При използване на посочените по-горе символи и правилà системата на римските цифри позволява да се изписват всички числа от 1 до 3999. При стойности, по-големи от тези, се използвали различни техники, като прибавяне на хоризонтални черти над буквите или комбинации от специални символи. Всъщност символите D и M първоначално са били изписвани с помощта на вертикална черта и околни дъги – I) за D и (I) за M. Тази система е позволявала числа по-големи от 1000 да се изписват чрез увеличаване на броя на дъгите. Така например 10 000 се е изписвало чрез ((I)), а 100 000 чрез (((I))). Римляните не са имали име за 1 000 000 и рядко са използвали числа от такъв порядък. В края на римските и средновековни времена, след като D и M са били приети като символи за 500 и 1000, обичайно е станало кратните на 1000 да се изписват с черта над самото означение. По този начин 10 000 е станало ¯X, а 100 000 е станало ¯C.

Въпреки че съществувало понятие близко до значението на 0, за числото 0 не съществува римска цифра. Липсата на това число не позволила развитието на позиционна числова система с римските цифри, което довело до постепенното им заместване с арабски цифри и след 1400 г. само арабските цифри биват използвани.

За да се определи стойността на едно число, написано с римски цифри, то трябва да бъде четено от ляво надясно. Ако една цифра е по-голяма или равна на следващата, тя се прибавя към общата стойност. В обратния случай се изважда.

XVI = 10 + 5 + 1 = 16
XIV = 10 – 1 + 5 = 14 (тъй като I е по-малко от V)
DIX = 500 – 1 + 10 = 509 (тъй като I е по-малко от X)
DCLXVI = 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 666 (използването на всеки базов символ по веднъж дава като резултат числото на звяра)
DCCCLXXXVIII = 888
MCDXCII = 1492
MDXV = 1515
MCMLXXV = 1000 – 100 + 1000 + 50 + 10 + 10 + 5 = 1975
MCMXCIX = 1000 – 100 + 1000 – 10 + 100 – 1 + 10 = 1999 (кратки изписвания като MIM или IMM не отговарят на правилата)
MMII = 2002
MMMCMXCIX = 1000 + 1000 + 1000 – 100 + 1000 – 10 + 100 – 1 + 10 = 3999

При стойности по-големи от 4000 това правило се променя.

Употреба

В наши времена римските цифри се използват за номериране. Например за отбелязване на вековете (като XVII век), глави и раздели на книги, закони, договори, при имената на монарси (например Симеон II, Луи XIV), при циферблатите на някои часовници, при номериране на спортни състезания (например XXVIII летни олимпийски игри) и др.

https://bg.wikipedia.org/wiki/Римски цифри

[Hatshepsut]

Основа на бройна система

В математическата бройна система, основа – това е броят на уникалните цифри, включително нула, използвани за представяне на числа в позиционна бройна система. Например, за десетичната система (най-често срещаната система в употреба днес) основата е десет, защото в нея са използвани десет цифри – от 0 до 9.

Често използвани бройни системи включват:

Основа/База  ~~  Наименование  ~~  Описание

2    Двоична бройна система    Използва се основно в почти всички компютри, основата ѝ е 2. Двете използвани цифри са ,,0" и ,,1", изразени от съответното състояние Изключено и Включено. Използвана в повечето електрически броячи.

8    Осмична бройна система    Понякога се използва в изчислителната техника, поради лесното ѝ преобразуване (заедно с шестнайсетичната в двоична). Осемте цифри са ,,0 – 7" и се представят с 3 бита (2³).

10    Десетична бройна система    Най-използваната система за числа в света. Използва се в аритметиката. Нейните десет цифри са ,,0 – 9". Използва се в повечето механични броячи.

12    Дванайсетична бройна система    Понякога присъства във връзка с кратността си на 2, 3, 4 и 6. Традиционно се използва за част от стойности, изразени в дузини. Възникнала в Месопотамия. Освен цифрите ,,0 – 9" се ползват и обърнати двойка ,,ᘔ" и тройка ,,Ɛ" за десет и единадесет съответно.

16    Шестнайсетична бройна система    Често се използва в изчислителната техника като по-сбито представяне на двоични стойности (16-ичен знак в 4 бита). Шестнайсете цифри са ,,0 – 9" и след това първите шест латински букви ,,a – f" или ,,A – F".

20    Двадесетична бройна система    Традиционната система на някои народи, все още се използва при някои за броене (примерно Грузинската бройна система).

60    Шейсетична бройна система    Възникнала в Древна Шумерия и преминала към Вавилония. Използвана днес като основа на съвременната ни полярна координатна система (градуси, минути и секунди) и за измерване на време (часове, минути и секунди).

https://bg.wikipedia.org/wiki/Основа на бройна система


Десетична бройна система

Десетичната бройна система е позиционна бройна система с целочислена основа десет (10). Най-използваната система за представяне на числа в света. Използва се в аритметиката и в повечето механични броячи.

При десетичната бройна система се използват десет цифри (от 0 до 9). Цифрите, подредени в число в зависимост от своята позиция, показват съответната степен на 10. От дясно наляво всяка позиция на числото отговаря в последователност за единиците, десетиците, стотиците и т.н. Най-дясната позиция се отнася за единиците или за нулевата степен на 10 (10⁰ = 1). Следват десетиците – първа степен (10¹ = 10), стотиците – втора степен (10² = 100), хилядите – трета степен (10³ = 1000) и т.н. Например петцифреното число 89302 се записва по следния начин: 89302 = (8 × 10⁴) + (9 × 10³) + (3 × 10²) + (0 × 10¹) + (2 × 10⁰). Същият принцип за определяне на числови стойности се използва и от други позиционни бройни системи, като двоичната и шестнадесетичната.

https://bg.wikipedia.org/wiki/Десетична бройна система


Дузина

Дузина е може би един от най-ранните примитивни начини за групиране, защото има около дванайсет цикли на Луната или месеци в един цикъл на слънцето или година. Дванайсет е и удобно, тъй като има най-много делители от числата под 18.

Използването на дванайсет като основа на бройна система (известно като дванайсетична бройна система) възниква в Месопотамия (също и шейсетичната бройна система). Това вероятно идва от броенето на пръсти, при което се ползват самите кокалчета на пръстите, броени с палеца. С този метод на една ръка може да се преброи до дванадесет, а с двете ръце, може да се пресмята до 144. Дванайсет дузини (12² = 144) в някои държави е известно като гроса; а дванадесет гроси (12³ = 1728, дванайсетичното 1000) се нарича голяма гроса, термин най-често използван при доставка или закупуване на стоки на едро. Голяма стотица, известна още като малка гроса, е 120 или десет дузини.

В зависимост от страната, някои продукти са опаковани или продавани заедно на дузини, най-често хранителни продукти (дузина яйца). В страните, в които се използва дузина, използват съчетанието ,,няколко дузини", за да изразят голям брой.

https://bg.wikipedia.org/wiki/Дузина

[Hatshepsut]

Грузинска бройна система

Грузинската бройна система се използва в грузинския език, който се говори в Грузия. Грузинската бройна система използва двайсетичната (с основа 20) бройна система за представяне на числата.

При писане на числата се ползват арабски цифри, за десетичен знак се ползва запетаята, а големите числа се разделят в групи по 3 с интервал или точка.

Числата от 1 до 10, както и 20 и 100, имат собствено наименование. От 11 до 19 се образуват както в повечето езици чрез комбиниране на числата от 1 до 9 с 10, плюс допълнително ,,т" в началото. Десетиците в числата от 30 до 90 се образуват въз основа на двайсетичната бройна система, като:

30 – 20 и 10
от 31 до 39 – 20 и от 11 до 19 съответно
40 – 2 пъти 20
от 41 до 49 – 2 пъти 20 и от 1 до 9 съответно
50 – 2 пъти 20 и 10
от 51 до 59 – 2 пъти 20 и от 11 до 19 съответно
60 – 3 пъти 20
от 61 до 69 – 3 пъти 20 и от 1 до 9 съответно
70 – 3 пъти 20 и 10
от 71 до 79 – 3 пъти 20 и от 11 до 19 съответно
80 – 4 пъти 20
от 81 до 89 – 4 пъти 20 и от 1 до 9 съответно
90 – 4 пъти 20 и 10
от 91 до 99 – 4 пъти 20 и от 11 до 19 съответно.
За хиляда (1000) и хиляди (2000 и нагоре) е буквално десетстотин. За милион и милиард ползват общоприетите наименования.


Число / Бройно / Букви
1    ერთი (erti)    ა
2    ორი (ori)    ბ
3    სამი (sami)    გ
4    ოთხი (otkhi)    დ
5    ხუთი (khuti)    ე
6    ექვსი (ekvsi)    ვ
7    შვიდი (švidi)    ზ
8    რვა (rva)    ჱ
9    ცხრა (tskhra)    თ
10    ათი (ati)    ი
11    თერთმეტი (tertmet'i)   
12    თორმეტი (tormet'i)   
13    ცამეტი (tsamet'i)   
14    თოთხმეტი (totkhmet'i)   
15    თხუთმეტი (tkhutmet'i)   
16    თექვსმეტი (tekvsmet'i)   
17    ჩვიდმეტი (čvidmet'i)   
18    თვრამეტი (tvramet'i)   
19    ცხრამეტი (tskhramet'i)   
20    ოცი (otsi)    კ
21    ოცდაერთი (otsdaerti)   
30    ოცდაათი (otsdaati)    ლ
40    ორმოცი (ormotsi)    მ
50    ორმოცდაათი (ormotsdaati)    ნ
60    სამოცი (samotsi)    ჲ
70    სამოცდაათი (samotsdaati)    ო
80    ოთხმოცი (otkhmotsi)    პ
90    ოთხმოცდაათი (otkhmotsdaati)    ჟ
100    ასი (asi)    რ
200    ორასი (orasi)    ს
300    ამასი (samasi)    ტ
400    ოთხასი (otkhasi)    ჳ/უ
500    ხუთასი (khutasi)    ფ
600    ექვსასი (ekvsasi)    ქ
700    შვიდასი (švidasi)    ღ
800    რვაასი (rvaasi)    ყ
900    ცხრაასი (tskhraasi)    შ
1000    ათასი (atasi)    ჩ
2000    ორი ათასი (ori atasi)    ც
3000    სამი ათასი (sami atasi)    ძ
4000    ოთხი ათასი (otkhi atasi)    წ
5000    ხუთი ათასი (khuti atasi)    ჭ
6000    ექვსი ათასი (ekvsi atasi)    ხ
7000    შვიდი ათასი (švidi atasi)    ჴ
8000    რვა ათასი (rva atasi)    ჯ
9000    ცხრა ათასი (tskhra atasi)    ჰ
10 000    ათი ათასი (ati atasi)    ჵ
1 млн.    მილიონი (milioni)   
1 млрд.    მილიარდი (miliardi)   

https://bg.wikipedia.org/wiki/Грузинска бройна система

[Hatshepsut]

Бройни системи

Бройната система е символен метод за представяне на числата използвайки ограничен брой символи (цифри).

Разделят се на два вида:

Непозиционни – при тях стойността на цифрата не зависи от нейната позиция в числото. Такава бройна система е Римската.

Позиционни – при тях стойността на цифрата зависи от нейната позиция в записа на числото, като тя се умножава с т.нар. тегловен коефициент.

Тегловният коефициент е  основата на бройната система (например 2, 10 или 16), повдигната на различна степен: нула – за най-младшия разряд, единица за следващия и т.н. – степента нараства с единица за всеки следващ по-старши разряд (ако числото е дробно, степента на най-старшия разряд е -1).

Най-използваната позиционна бройна система е десетичната.

В електрониката и програмирането се използват двоична, шестнадесетична и по-рядко осмична бройна система.



Двоична бройна система

При двоичната бройна система се използват само две цифри – 0 и 1.

Бележи се с долен индекс 2 или с малката латинска буква b (от английски: binary – ,,двоичен") след числото.

Например 1001₂ =1001b = 9₁₀,

Отделните цифри се означават като бит. Редицата от битове (0 и 1) се нарича бинарен (или двоичен) код. Група от 8 бита е прието да е равно на 1 байт.

Както при всички други бройни системи завършващият (най-десният) бит се нарича най-младши разред, а всеки отляво е по-старши разред.


Шестнадесетична бройна система

Това е позиционна бройна система, с основа 16, в която числата се представят с помощта на 16 динамични символа. Символите от 0-9 са представени чрез арабски цифри, а латинските букви A, B, C, D, E, F (или a-f) се ползват за стойностите от 10 до 15. Всяка шестнайсетична цифра се представя като група от четири двоични цифри (бит).


Осмична бройна система

Това е бройна система с основа 8 и използва цифрите от 0 до 7.

Тази бройна система се използва по-рядко.

https://www.electronicevolution.bg/bg-news-details-45.html


П.П. В оригиналната статия са дадени примери на преобразуване на числа от една бройна система в друга, но това е доста сложно, бих препоръчал да използвате вградения калкулатор на операционната система Windows, като го превключите в режим за програмисти (от менюто View избирате Programmer) 

[Hatshepsut]

Добавих анкета към темата със следния въпрос:

Коя бройна система считате за съвършена като логическа конструкция?

Тук става дума коя бройна система считаме за съвършена/идеална като конструкция, а не като практическо приложение. Ясно е, че всички ние ежедневно използваме десетичната бройна система, но е възможно някой да счита някоя друга бройна система за по-добра в някое друго отношение. Примерно някой може много да харесва римските цифри от естетическа гледна точка, въпреки че те са абсолютно непригодни за каквито и да било аритметични операции 

Аз също използвам десетичната бройна система, но за мен идеална е 16-тичната, затова така съм гласувал в анкетата.
По-късно ще публикувам отделен постинг, посветен на 16-тичната система 

В анкетата са включени само позиционни бройни системи, ако някой има други предпочитания, да избере опцията "Друга".

[Hatshepsut]

Шестнайсетична бройна система

Шестнайсетичната бройна система е позиционна бройна система, с основа 16, в която числата се представят с помощта на 16 динамични символа. Символите от 0 – 9 са представени чрез арабски цифри, а латинските букви A, B, C, D, E, F (или a – f) се ползват за стойностите от 10 до 15. Всяка шестнайсетична цифра се представя като група от четири двоични цифри (бит). Причина за това е, че за съхраняването на данните в оперативната памет на електронноизчислителни машини се използва двоичен код.

https://bg.wikipedia.org/wiki/Шестнайсетична бройна система


Общо взето, горния текст е почти всичко важно, което може да се намери за 16-тичната бройна система на български в интернет 


Ще добавя една сравнителна таблица на числата в десетична и шестнайсетична бройни системи, както и компютърния вариант в байтове (килобайти KB, мегабайти МВ и гигабайти GB)

HEX ~~ DEC

0 ~~ 0
1 ~~ 1
2 ~~ 2
3 ~~ 3
4 ~~ 4
5 ~~ 5
6 ~~ 6
7 ~~ 7
8 ~~ 8
9 ~~ 9
A ~~ 10
B ~~ 11
C ~~ 12
D ~~ 13
E ~~ 14
F ~~ 15
10 ~~ 16
20 ~~ 32
30 ~~ 48
40 ~~ 64
80 ~~ 128
100 ~~ 256
200 ~~ 512
300 ~~ 768

HEX ~~ DEC ~~ KB

400 ~~ 1024 ~~ 1K
800 ~~ 2048 ~~ 2K
C00 ~~ 3072 ~~ 3K
1000 ~~ 4096 ~~ 4K
2000 ~~ 8192 ~~ 8K
3000 ~~ 12,288 ~~ 12K
4000 ~~ 16,384 ~~ 16K
5000 ~~ 20,480 ~~ 20K
6000 ~~ 24,576 ~~ 24K
7000 ~~ 28,672 ~~ 28K
8000 ~~ 32,768 ~~ 32K
9000 ~~ 36,864 ~~ 36K
A000 ~~ 40,960 ~~ 40K
B000 ~~ 45,056 ~~ 44K
C000 ~~ 49,152 ~~ 48K
D000 ~~ 53,248 ~~ 52K
E000 ~~ 57,344 ~~ 56K
F000 ~~ 61,440 ~~ 60K
10,000 ~~ 65,536 ~~ 64K
14,000 ~~ 81,920 ~~ 80K
18,000 ~~ 98,304 ~~ 96K
1C,000 ~~ 114,688 ~~ 112K
20,000 ~~ 131,072 ~~ 128K
24,000 ~~ 147,456 ~~ 144K
28,000 ~~ 163,840 ~~ 160K
30,000 ~~ 196,608 ~~ 192K
38,000 ~~ 229,376 ~~ 224K
40,000 ~~ 262,144 ~~ 256K
50,000 ~~ 327,580 ~~ 320K
60,000 ~~ 393,216 ~~ 384K
70,000 ~~ 458,752 ~~ 448K
80,000 ~~ 524,288 ~~ 512K
A0,000 ~~ 655,360 ~~ 640K
C0,000 ~~ 786,432 ~~ 768K
E0,000 ~~ 917,504 ~~ 896K

HEX ~~ DEC ~~ MB / KB

100,000 ~~ 1,048,576 ~~ 1M / 1024K
200,000 ~~ 2,097,152 ~~ 2M / 2048K
300,000 ~~ 3,145,728 ~~ 3M / 3072K
400,000 ~~ 4,194,304 ~~ 4M / 4096K
800,000 ~~ 8,388,608 ~~ 8M / 8192K
C00,000 ~~ 12,582,912 ~~ 12M / 12,288K
1,000,000 ~~ 16,777,216 ~~ 16M / 16,384K
1,400,000 ~~ 20,971,520 ~~ 20M / 20,480K
1,800,000 ~~ 25,165,824 ~~ 24M / 24,576K
1,C00,000 ~~ 29,360,128 ~~ 28M / 28,672K
2,000,000 ~~ 33,554,432 ~~ 32M / 32,768K
2,400,000 ~~ 37,748,736 ~~ 36M / 36,864K
2,800,000 ~~ 41,943,040 ~~ 40M / 40,960K
2,C00,000 ~~ 46,137,344 ~~ 44M / 45,056K
3,000,000 ~~ 50,331,648 ~~ 48M / 49,152K
3,400,000 ~~ 54,525,952 ~~ 52M / 53,248K
3,800,000 ~~ 58,720,256 ~~ 56M / 57,344K
3,C00,000 ~~ 62,914,560 ~~ 60M / 61,440K
4,000,000 ~~ 67,108,864 ~~ 64M / 65,536K
5,000,000 ~~ 83,886,080 ~~ 80M / 81,920K
6,000,000 ~~ 100,663,296 ~~ 96M / 98,304K
6,400,000 ~~ 104,857,600 ~~ 100M / 102,400K
7,000,000 ~~ 117,440,512 ~~ 112M / 114,688K
8,000,000 ~~ 134,217,728 ~~ 128M / 131,072K
9,000,000 ~~ 150,994,944 ~~ 144M / 147,056K
A,000,000 ~~ 167,772,160 ~~ 160M / 163,840K
C,000,000 ~~ 201,326,592 ~~ 192M / 196,608K
E,000,000 ~~ 234,881,024 ~~ 224M / 229,376K
10,000,000 ~~ 268,435,456 ~~ 256M / 262,144K
14,000,000 ~~ 335,544,320 ~~ 320M / 327,680K
18,000,000 ~~ 402,653,184 ~~ 384M / 393,216K
19,000,000 ~~ 419,430,400 ~~ 400M / 409,600K
1C,000,000 ~~ 469,762,048 ~~ 448M / 458,752K
20,000,000 ~~ 536,870,910 ~~ 512M / 524,288K
28,000,000 ~~ 671,088,640 ~~ 640M / 655,360K
30,000,000 ~~ 805,306,368 ~~ 768M / 786,432K
38,000,000 ~~ 939,524,096 ~~ 896M / 917,504K

HEX ~~ DEC ~~ GB / MB

40,000,000 ~~ 1,073,741,824 ~~ 1G / 1024M
80,000,000 ~~ 2,147,483,648 ~~ 2G / 2048M
C0,000,000 ~~ 3,221,225,472 ~~ 3G / 3072M
100,000,000 ~~ 4,294,967,296 ~~ 4G / 4096M

[Panzerfaust]

Гласувах за класиката - десетичната. За мен тя е най-съвършена.

[Hatshepsut]

Аритметични операции при 16-тична бройна система 

Hexadecimal Addition

Hexadecimal Subtraction

Шестнадесетична таблица за умножение:

Multiplication in Base 16 (Hexadecimal)

[Hatshepsut]

Защо числото ,,12" се нарича ,,дузина" и защо именно 12, а не 10 или 15?

Bceĸи e зaпoзнaт c дyмaтa ,,дyзинa". Kyпyвaмe дyзинa яйцa, чyвaмe зa ,,дявoлcĸaтa дyзинa", ,,пoлoвин дyзинa" и дopи ,,дyзинa poзи". Ho зaщo 12? Зaщo нe 10, ĸaĸтo e в oбичaйнaтa ни дeceтичнa бpoйнa cиcтeмa? Зaщo нe 14 или 15? Oтĸъдe ce e пoявилo тoвa cтpaннo и нa пpъв пoглeд нeпpaĸтичнo чиcлo – и зaщo тo ce e нaлoжилo тoлĸoвa тpaйнo, чe дyмaтa ,,дyзинa" я paзбиpaт и yчeницитe, и пeнcиoнepитe, и пpoдaвaчитe нa пaзapa?

Cлeдитe вoдят ĸъм Дpeвния Изтoĸ

Зa дa paзбepeм oтĸъдe e дoшлa дyзинaтa, тpябвa дa ce въpнeм нaзaд във вpeмeтo, ĸoгaтo xopaтa тeпъpвa ca ce yчили дa бpoят. Haй-paзпpocтpaнeнaтa днec бpoйнa cиcтeмa e дeceтичнaтa, ocнoвaнa нa чиcлoтo 10. Toвa e лoгичнo: чoвeĸ имa 10 пpъcтa нa pъцeтe cи. Ho вaвилoнцитe, eдни oт нaй-вeлиĸитe мaтeмaтици нa дpeвнocттa, ca изпoлзвaли шecтдeceтичнaтa cиcтeмa, ĸъдeтo чиcлoтo 12 e билo eдин oт дeлитeлитe нa 60.

Вавилонските цифри

Cъщo тaĸa 12 yдoбнo ce дeли нa 2, 3, 4 и 6. Toвa гo пpaви изĸлючитeлнo yдoбнo зa тъpгoвия и измepвaнe, ocoбeнo пpeди пoявaтa нa ĸaлĸyлaтopитe. Taĸa нaпpимep, aĸo cтe тъpгoвeц и paздeлитe cтoĸитe нa гpyпи oт пo 12, мoжeтe лecнo дa oтмepитe пoлoвинaтa, тpeтинaтa, чeтвъpтинaтa и шecтинaтa бeз ниĸaĸъв ocтaтъĸ. Πpи чиcлoтo 10 тoзи тpиĸ нe paбoти – тo ce дeли caмo нa 2 и 5.

Имeннo вaвилoнцитe ca пocтaвили ocнoвитe нa ĸaлeндapитe, чacoвницитe и дopи нa paздeлянeтo нa ĸpъгa нa 360 гpaдyca – вcичĸo тoвa e пpoизвoднo нa тяxнaтa cиcтeмa, в ĸoятo имa 12 мeceцa, 24 чaca, 60 минyти в eдин чac и 12 зoдиaĸaлни знaĸa. Bcичĸo тoвa e взaимocвъpзaнo.

И вce пaĸ oтĸъдe идвa дyмaтa

Дyмaтa ,,дyзинa" e нaвлязлa в бългpcĸия eзиĸ нaй-вepoятнo чpeз пoлcĸия или нeмcĸия, или мoжe би oт pycĸия, a тe, oт cвoя cтpaнa, ca я зaимcтвaли oт фpeнcĸaтa dоuzаіnе, бyĸвaлнo – ,,гpyпa oт 12". Kopeнът e – dоuzе (двaнaдeceт). A зa фpeнcĸия eзиĸ e извecтнo, чe e бoгaт нa зaeмĸи oт лaтинcĸи.

Изнeнaдвaщo e, чe лaтинcĸият eзиĸ вeчe cи e имaл пoнятиe зa duоdесіm, т.e. двaнaдeceт. И тaĸa тo пътyвa из Eвpoпa, ĸaтo ce вĸopeнявa в peчтa нa тъpгoвци, зaнaятчии и вoeнни. B ĸpaя нa ĸpaищaтa 12 e билa yдoбнa мepнa eдиницa. Taĸa ce e пoявилa дyмaтa, ĸoятo oщe пpeз ХІV-ХV в. зaпoчвa дa oбoзнaчaвa тъpгoвcĸa eдиницa, ocoбeнo пpи пpoдaжбaтa нa пpeдмeти зa битa – cвeщи, бyтилĸи, яйцa и дp.

He caмo yдoбнo, нo и... cвятo

B paзличнитe ĸyлтypи чиcлoтo 12 e пpидoбилo caĸpaлнo знaчeниe. B xpиcтиянcтвoтo – 12 aпocтoли, в юдaизмa – 12 изpaилeви плeмeнa. B cĸaндинaвcĸaтa митoлoгия – 12 глaвни бoгoвe нa Acгapд. Ha Изтoĸ – 12 живoтни в ĸитaйcĸия xopocĸoп. Toвa чиcлo e cимвoлизиpaлo зaвъpшeнocттa, peдa и цялocтнocттa. He e изнeнaдвaщo, чe тo ce e нaлoжилo в eжeднeвиeтo и в eзиĸa. Oĸaзвa ce, чe дyзинaтa e нe пpocтo yдoбcтвo, a пoчти мaгиятa нa eжeднeвиeтo.

Любoпитнo e, чe дyзинaтa e дaлa нaчaлoтo нa цялo ,,ceмeйcтвo" oт изpaзи, ĸoитo ce изпoлзвaт и днec. Πoлoвин дyзинa e 6. Двe дyзини ca 24. Cъщecтвyвaт дopи peдĸи тepмини: гpoca e 12 дyзини, т.e. 144 бpoя. Te ca били aĸтивнo изпoлзвaни oт тъpгoвцитe и cĸлaдaджиитe пpeз ХІХ-ХХ в.

A изpaзи oт poдa нa ,,няĸoлĸo дyзини чopaпи" звyчaт yбeдитeлнo: изглeждa, чe e мнoгo, нo вce пaĸ e paзyмнo.

Toгaвa зaщo тoвa нe ce e нaлoжилo в мeтpичнaтa cиcтeмa?

Koгaтo пpeз ХІХ в. Eвpoпa пpeминaвa ĸъм мeтpичнaтa cиcтeмa, e изглeждaлo, чe дyзинaтa щe ocтaнe в минaлoтo. Ho тoвa нe ce cлyчи. Xopaтa пpoдължaвaт дa я изпoлзвaт в eжeднeвиeтo cи, ocoбeнo в тъpгoвиятa. Πpичинaтa e пpocтa: дyзинaтa e yдoбнa зa дeлeниe, a дeceтичнaтa cиcтeмa e yдoбнa зa изчиcлeния. Teзи двe лoгиĸи ca cъщecтвyвaли и cи cъщecтвyвaт пapaлeлнo – eднaтa в cчeтoвoдcтвoтo, a дpyгaтa нa пaзapa.

И дo днec в няĸoи cтpaни дyмaтa ,,дyзинa" ce изпoлзвa oфициaлнo в тъpгoвиятa: в CAЩ нaпpимep тя вce oщe фигypиpa въpxy eтиĸeтитe c цeнитe и oпaĸoвĸитe.

Peзyлтaт oт aнaлизa

Чиcлoтo 12 ce нapичa ,,дyзинa", зaщoтo иcтopичecĸи ce e дoĸaзaлo ĸaтo пpaĸтичнo, yнивepcaлнo и yдoбнo. B дpeвнocттa – зa дeлeниe и измepвaнe. B ĸyлтypaтa – ĸaтo cимвoл нa зaвъpшeнocт. B eзиĸa – ĸaтo нacлeдcтвo oт тъpгoвcĸa Eвpoпa. A днec тя живee в нeпocpeдcтвeнa близocт дo нac – в яйцaтa, oпaĸoвĸитe и цвeтoвeтe, нaпoмняйĸи ни, чe нe вcичĸo в cвeтa ce пoдчинявa нa ĸpъглитe дeceтични чиcлa. ,,Дyзинaтa" нe e apxaизъм, тя e живa eдиницa oт eжeднeвиeтo. И, ĸaĸтo ce oĸaзвa, тя e c нac oт мнoгo вpeмe.

https://www.kaldata.com/